Seccions cóniques II: L'el·lipse

En la segona entrada sobre les cóniques us volem presentar ara l'el·lipse. Segurament us deu sonar aquesta paraula, doncs segurament tots tenim en ment com és una el·lipse, però quins secrets amaga aquesta corba tancada? Què és exactament? Ara us ho expliquem.

Segur que si et fixes en el que t'envoltes aconsegueixes trobar-ne una. Nosaltres l'hem trobat en un subwoofer.


De manera que ara ja tan sols ens queda investigar la forma trobada. Segons l'enciclopèdia catalana una el·lipse és:

"Corba tancada que resulta de la intersecció d'una superfície cònica amb un pla que no és paral·lel a cap generatriu ni a l'eix d'aquella; és doncs, una cònica"



Aquesta és una descripcció molt gràfica, però de manera més "matemàtica" podriem dir que una el·lipse és una corba tancada que consta de dos punt F i F' que anomenarem focus i que aquesta es defineix tal com al lloc geomètric del pla tal que la suma de les seves distàncies als focus és constant i igual a 2a (a>0)

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"
MAYSCRIPT>
























Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Aquí podem comprovar la definició anterior.

Una el·lipse té diversos elements com poden ser:

1. Focus: són els punts fixos F i F'
2. Eix focal: és la recta que passa pels focus.
3. Eix secundari: és la mediatriu del segment FF'
4. Centre: és el punt d'intersecció dels eixos.
5. Radis vectors: són els vectors que van des d'un punt de la el·lipse als focus PF i PF'
6. Distància focal: és el segment FF' de longitud 2c, on c és el valor de la semi-distància focal.
7. Vèrtex: són els punts de la intersecció de la el·lipse amb els eixos A, A', B y B'
8. Eix major: és el segment AA' de longitud 2a
9. Eix menor: és el segment BB' de longitud 2b



Cal destacar també què és la excentricitat. Doncs, bé l'excentricitat d'una el·lipse és el quocient la seva semi-distància focal i el seu semieix menor.Es denota amb la lletra e i el seu valor està comprés entre 0 i 1.

En aquesta aplicació podem observar que l'excentricitat més serà superior a 1 o inferior a 0.

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"
MAYSCRIPT>











































Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.



A més per definir una el·lipse podem utilitzar les equacions. En primer lloc mostrarem la equació reduïda de la el·lipse PF+PF'= 2a

Aquesta equació dona lloc a:


I realitzant algunes operacions arribam a la formula :



Que ens serveix si l'eix principal es troba en posició horitzontal.


Si l'eix principal de la el·lipse es troba en l'eix d'ordenades obtindrem l'equació reduïda vertical:


D'altra banda també tenim una altre equació que ens diu que si el centre de l'el·lipse C( x0, y0) es i l'eix principal és paral·lel a OX els focus tenen de coordenades: F(x0+c, y0) y F'(x0−c, y0) I l'equació és:



I fins aquí l'explicació de l'el·lipse.

Fins aviat.