Seccions còniques III: La paràbola

I ara que ja hem començat a escalfar motors us presentem la paràbola, una secció cònica menys habitual en les nostres vides quotidianes. Però que apareix en logotips molt coneguts, com és el cas de la M de McDonal's:



Tot i així hi ha altres maneres d'aconseguir una paràbola. La que he escollit és molt fàcil d'aconseguir i tan sols cal una llanterna i una habitació fosca:



A més hem de pensar que les paràboles tenen un gran pes en les nostres vides, encara que no en siguem conscients, ja que per un seguit de característiques que les afavoreixen tenen moltes aplicacions. De manera que les podem trobar en antenes per satèl·lit, radiotelescopis, en fars i làmpades que tenen miralls amb superfícies parabòliques, cuines solars...



Un cop ja tenim clara la seva forma i aplicacions tan sols ens queda esbrinar què és ben bé una paràbola. Quins tresors ens oculta aquesta corba estudiada des de l'antiguitat?




Doncs bé, l'enciclopèdia catalana defineix de la següent manera, la secció cònica ja estudiada pel mateix Arquímedes:

"Corba oberta, intersecció d'una superfície cònica amb un pla paral·lel a una de les generatrius.
Constitueix el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d'un punt (el focus de la paràbola) i d'una recta que no conté el punt (la directriu de la paràbola)."



En la següent aplicació podrem veure com s'aplica la seva característica més important; l'equidistància entre els punts de la paràbola i el focus, i els punts de la paràbola i una recta que no consta d'aquest punt.

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"
MAYSCRIPT>




















Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.


Com podeu veure la distància del punt al focus i a la recta directriu sempre serà igual.

D'una paràbola cal destacar-ne els punts següents:

1. El focus: és el punt fix F
2. La directriu: és la recta fixa d
3. Vèrtex: és el punt d'intersecció de la paràbola amb el seu eix.
4. Eix: és la recta perpendicular a la directriu que passa pel focus.

Aquí podem observar tots aquests elements:




Com la resta de les seccions còniques la paràbola també està definida per una serie d'equacions. En primer lloc parlarem de l'equació reduïda, que podrem aplicar quan l'eix de la paràbola coincideixi amb el d'abscisses i el vèrtex amb el d'origen de coordenades.



Aquesta equació és:



En canvi si la coincidència és dona al contrari, és a dir tenim la paràbola vertical aplicarem l'equació:


Però no ens podem limitar a calcular solament aquest tipus de paràboles, doncs en trobarem amb el vèrtex diferent a l'origen i amb l'eix paral·lel a OX. Per aquests casos utilitzarem l'equació:



Fins aquí arriben les equacions de la paràbola. Espero que us hagi servit per aprendre coses noves.

Fins aviat.

Seccions cóniques II: L'el·lipse

En la segona entrada sobre les cóniques us volem presentar ara l'el·lipse. Segurament us deu sonar aquesta paraula, doncs segurament tots tenim en ment com és una el·lipse, però quins secrets amaga aquesta corba tancada? Què és exactament? Ara us ho expliquem.

Segur que si et fixes en el que t'envoltes aconsegueixes trobar-ne una. Nosaltres l'hem trobat en un subwoofer.


De manera que ara ja tan sols ens queda investigar la forma trobada. Segons l'enciclopèdia catalana una el·lipse és:

"Corba tancada que resulta de la intersecció d'una superfície cònica amb un pla que no és paral·lel a cap generatriu ni a l'eix d'aquella; és doncs, una cònica"



Aquesta és una descripcció molt gràfica, però de manera més "matemàtica" podriem dir que una el·lipse és una corba tancada que consta de dos punt F i F' que anomenarem focus i que aquesta es defineix tal com al lloc geomètric del pla tal que la suma de les seves distàncies als focus és constant i igual a 2a (a>0)

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"
MAYSCRIPT>
























Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Aquí podem comprovar la definició anterior.

Una el·lipse té diversos elements com poden ser:

1. Focus: són els punts fixos F i F'
2. Eix focal: és la recta que passa pels focus.
3. Eix secundari: és la mediatriu del segment FF'
4. Centre: és el punt d'intersecció dels eixos.
5. Radis vectors: són els vectors que van des d'un punt de la el·lipse als focus PF i PF'
6. Distància focal: és el segment FF' de longitud 2c, on c és el valor de la semi-distància focal.
7. Vèrtex: són els punts de la intersecció de la el·lipse amb els eixos A, A', B y B'
8. Eix major: és el segment AA' de longitud 2a
9. Eix menor: és el segment BB' de longitud 2b



Cal destacar també què és la excentricitat. Doncs, bé l'excentricitat d'una el·lipse és el quocient la seva semi-distància focal i el seu semieix menor.Es denota amb la lletra e i el seu valor està comprés entre 0 i 1.

En aquesta aplicació podem observar que l'excentricitat més serà superior a 1 o inferior a 0.

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"
MAYSCRIPT>











































Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.



A més per definir una el·lipse podem utilitzar les equacions. En primer lloc mostrarem la equació reduïda de la el·lipse PF+PF'= 2a

Aquesta equació dona lloc a:


I realitzant algunes operacions arribam a la formula :



Que ens serveix si l'eix principal es troba en posició horitzontal.


Si l'eix principal de la el·lipse es troba en l'eix d'ordenades obtindrem l'equació reduïda vertical:


D'altra banda també tenim una altre equació que ens diu que si el centre de l'el·lipse C( x0, y0) es i l'eix principal és paral·lel a OX els focus tenen de coordenades: F(x0+c, y0) y F'(x0−c, y0) I l'equació és:



I fins aquí l'explicació de l'el·lipse.

Fins aviat.

Seccions cóniques I: introducció

Per començar us parlarem de les seccions còniques, que és la intersecció d'un pla amb un con sense que aquest passi pel seu vèrtex. De manera que segons com tallem aquest con obtindrem una paràbola, una el·lipse o una hipèrbole.



Aquestes seccions donen com a resultat unes corbes definides en un pla, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de la forma:(Ax^2+By^2+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F= 0
On A,B i C són tots nuls.

I aquestes tres corbes les podem representar en el pla de la següent manera:



I fins a qui la introducció a les cóniques.

Benvinguts

Benvinguts,

Us present el nou blog de matemàtiques per a tots els interessats en aprendre i descobrir els nombres i tots els seus secrets. El projecte neix d’un treball de classe en que se’ns proposa investigar les paràboles, hipèrboles i el•lipses, però no volem que la cosa quedi aquí.

De manera que desitgem compartir amb tots vosaltres les noves descobertes i fer-vos partícips del nostre procés d’aprenentatge. Esperem que pugueu fruir d’aquest blog i que entre tots generem una font de coneixements i un fons on emmagatzemar totes les matemàtiques que se’ns vagin topant pel camí.

Fins aviat