IV: Esquemes

Bon dia,

Avui, ja acabant el tema de les asímptotes us presentem tres esquemes que esperem que us serveixin com a guia a l'hora d'estudiar aquestes rectes sorprenents.

AÍMPTOTES OBLIQÜES:

AÍMPTOTES HORITZONTALS

ASÍMPTOTES VERTICALS




I fins aquí arriba el nostre treball sobre les asímptotes, esperem que d'aquí poc poguem tenir llest algun video explicatiu.

Espero que els hagi servit d'ajuda.

Fins aviat.

III: Asímptotes obliqües

Bon dia,

Avui us presentarem les asímptotes obliqües. Una funció racional té asímptota obliqua quan el grau del numerador és una unitat més gran que el grau del denominador.

Si en una funció hi ha una asímptota obliqua mai hi haurà una asímptota horitzontal, ja que aquestes son incompatibles. La equació de la asímptota obliqua és:

y = mx+n

Aquesta és una de les equacions que utilitzàvem per definir les funcions, i s’anomena equació implícita. Com que les asímptotes obliqües també tenen un pendent determinat utilitzarem la mateixa equació.

Però com la podem calcular? Per calcular-la haurem de seguir dos passos:

Primer pas: Haurem de calcular la m, és a dir, el pendent de la recta i la n, l'ordenada.

Quan la m d’aquesta funció sigui diferent a 0 la podrem calcular amb la primera fórmula i seguidament la n la calcularem amb la segona fórmula:

Segon pas: substituïm els valors de m i n en l’equació i ja tindrem l’asímptota obliqua resolta.

Per acabar d’aclarir el passos que s’han de seguir farem un exemple de càlcul d’asímptota obliqua.

En la següent funció podem observar que el grau del numerador és una unitat més gran que el grau del denominador, per tant, podem deduir que ens sortirà una asímptota obliqua.

El primer pas és calcular la el pendent, es a dir, la m. Per calcular la m aplicarem la fórmula d'aquesta, per tant:

El segon pas és calcular la n amb la seva fórmula, per tant:

Per últim, aplicarem els resultats de la m i la n a la fórmula i per tant queda:

Aquesta és la fórmula de la recta de la asímptota obliqua.

Com ja vam veure a l'altra entrada un exemple de asímptota obliqua a la vida quotidiana el trobem en les hipèrboles. En la següent foto les podem intuir:

En la següent gràfica, ara sí, les podem veure representades:

I fins aquí l'asímptota obliqua. Esperem que el hagi servit d'ajuda.

Fins aviat.

II: Asímptotes horitzontals

Bon dia,

Avui us presentem les asímptotes horitzontals. Com vam dir en la primera entrada sobre asímptotes, aquestes són rectes d'equació y=k. I ens indiquen a que tendeix la funció quan x és molt gran o molt petita.

O dit d'una altra manera: les asímptotes horitzontals són rectes horitzontals a les quals la funció es va apropant indefinidament. És a dir que quan la x s'aproxima a més o menys infinit la funció s'aproxima a la asímptota.

Podem trobar asímptotes horitzontals aplicacions de termes empresarials, en càlcul de freqüències, i fins i tot en l'estela dels avions.

En aquesta imatge hi ha dues asímptotes, una de vertical, i la que ara ens interessa, una d'horitzontal. Passem a veure ara un applet on descobrir si la definició s'adiu realment amb la seva representació gràfica.

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"

MAYSCRIPT>

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

En aquesta aplicació l'únic que hem de fer es posar la recta verda sobre la blava, i així tindrem la asímptota. Llavors per comprovar que la funció s'aproxima a més o menys infinit tan sols hem de canviar el valor de x.

Un cop ens ha quedat clar què és una asímptota horitzontal ja tan sols ens queda aprendre a calcular-la. I per a fer-ho només s'han de seguir uns passos molt senzills:

1. Calculem el límit de la funció quan x tendeix a infinit. Si existeix el límit (valor finit) Hi ha una asímptota horitzontal.

2. Les funcions racionals tenen asímptotes horitzontals en els casos següents:

a) Numerador i denominador amb el mateix grau: a/b

b) Numerador menor que el del denominador: 0

3. les funcions exponencials sempre tenen una asímptota horitzontal en y=0

4. Les asímptotes horitzontals són paral·leles a l'eix OX i s'escriuen y= al valor de la asímptota horitzontal.

I un cop seguits aquests passos ja hauriem resolt el càlcul de qualsevol funció horitzontal. Ara posarem un exemple per que veieu aquestes pautes molt més clares.

Imaginem que volem calcular la asímptota de la funció:

En primer lloc mirem els graus del numerador i del denominador. Com que coincideixen el resultat serà a/b o en aquest cas 1/1= 1.

Per saber a què tendeixen per la dreta posarem nombres "grans" i per saber a què tendeixen per l'esquerra posarem nombres "petits" i substituirem en el límit,

a) Per la dreta: Substituïm per 10 (per exemple) I ens dona el símbol +

b) Per l'esquerra: Substituïm per -10 ( per exemple) I ens dona el símbol -

Ara sí, ens podem fer una idea de com serà aquesta asímptota i la funció que l'acompanya. En primer lloc sabem que la asímptota és una recta paral·lela a l'eix OX i que es troba en y=1. I també sabem que en valors majors a 1 tendeix a infinit i en valors menors a 1 tendeixen a menys infinit.

Per tant només ens queda fer-ne la representació gràfica.

I fins aquí les asímptotes horitzontals. Espero que els hagi servit d'ajuda.

Fins aviat.

I: Asímptotes verticals

Bon dia,

Avui us parlaré de les asímptotes verticals. Com ja vam veure en el primer apartat les asímptotes verticals són aquelles que ens diuen que x=k, sent k els punts que no pertanyen al domini de la funció.

De manera que en substituir les ixes per el valor de k el resultat és un nombre partit per 0 que sempre tindrà com a resultat infinit. Tots els límits que donen infinit tindran com a mínim una asímptota vertical.

Les asímptotes podem semblar rectes abstractes, insignificant o fins i tot intangibles, però són freqüents en vies de tren, en parcs d'atraccions, en cables, edificacions etc. En la següent fotografia podem veure dues rectes verticals a les quals dues funcions s'aproximen en augmentar els valors de y.

Anem a veure ara una aplicació concreta, on poder observar l'asímptota amb més precisió:

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"

MAYSCRIPT>

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Tal com podem comprovar en aquesta aplicació quan els valors de y augmenten o disminueixen la funció sempre tendeix a infinit o menys infinit. En aquesta podem observar que el límit per la dreta s'acosta al més infinit, i per l'esquerra al menys infinit. Però com podem saber totes aquestes coses a partir d'una funció?

A continucació us indicarem els pasos que heu de seguir per calcular asímptotes:

1. Calcular el domini ( sabrem el punt de tall amb les x)

2. Fem el límit per als valors de x que no pertanyen al domini. Si el límit és igual a infinit EUREKA! Hem trobat una asímptota vertical.

3. Per saber a què tendeix la funció es fan els límits laterals. El resultat només pot ser més o menys infinit.

4. Les rectes són paral·leles al eix OY. S'escriuen: x= al valor de la asímptota vertical.

5. Poden tenir asímptotes les indeterminacions K/0, funcions logarítmiques o funcions tangents.

Un cop sabem els passos fem un exemple per a que quedi clar del tot:

Posem per cas que ens diuen de trobar les asímptotes de la següent funció:

-En primer lloc hem de buscar el domini de la funció. Per fer això igualarem a 0 el denominador i els nombres que en resultin seran els que NO estan al domini.

En aquest cas el domini són tots els nombres reals excepte 0. Aquest 0 és el numero que ens interessa.

- En segon lloc fem el límit per aquells valors que no pertanyen al domini.

Tal com esperàvem el resultat és una indeterminació de tipus K/0 (1/0) i per tant dona infinit. Hi ha una asímptota en x=0

- Per últim ja tan sols ens queda esbrinar si per l'esquerra és més o menys infinit i el mateix per la dreta.

Per esbrinar-ho agafem un número més petit que zero com el -1 que va per l'esquerra de l'asímptota i substituïm. No ens importa el resultat, només el signe, i en aquest cas l'esquerra de la funció és igual a més infinit.

Per la dreta hem de fer el mateix però amb un nombre major que zero com el +1. Substituïm i el resultat continua sent més infinit. Ha donat la casualitat que han coincidit, però podrien no fer-ho.

Ara ja tenim una idea aproximada de com anirà la asímptota i de com serà la funció. I la podem "representar":

Però ara que sabem totes aquestes coses...què ens impedeix fabricar nosaltres mateixos les nostres pròpies funcions amb asímptotes verticals? Res.

Així doncs mirem com podrirem crear els nostres propis exercicis i materials per treballar i estudiar. Per fer una funció amb asímptota vertical només hem de tenir clares un parell de coses:

1. El resultat de la substitució ha de ser k/0

2. Hem de buscar una funció que tingui un domini igual a tots els nombres reals excepte un o uns quants nombres.

Així doncs busquem un polinomi amb un domini com l'esmentat: x^2-1. Que té domini -1.

Seguidament comprovem que al substituir donarà 0 i busquem un altre polinomi que faci de numerador.

Aquest al ser substituit per -1 ha de donar un nombre que NO sigui zero. Seguidament fem el límit substituint les x per el -1.

Ara ja només ens queda saber a què tendeix el límit per la dreta i per l'esquerra. En aquest cas el límit i l'asímptota farien una gràfica com la següent:

En aquest cas també hi ha una asímptota horitzontal, però això ho deixarem pel següent capítol.

Espero que us hagi servit d'ajuda.

Fins aviat.