Avui us parlaré de les asímptotes verticals. Com ja vam veure en el primer apartat les asímptotes verticals són aquelles que ens diuen que x=k, sent k els punts que no pertanyen al domini de la funció.
De manera que en substituir les ixes per el valor de k el resultat és un nombre partit per 0 que sempre tindrà com a resultat infinit. Tots els límits que donen infinit tindran com a mínim una asímptota vertical.
Les asímptotes podem semblar rectes abstractes, insignificant o fins i tot intangibles, però són freqüents en vies de tren, en parcs d'atraccions, en cables, edificacions etc. En la següent fotografia podem veure dues rectes verticals a les quals dues funcions s'aproximen en augmentar els valors de y.
Anem a veure ara una aplicació concreta, on poder observar l'asímptota amb més precisió:
Tal com podem comprovar en aquesta aplicació quan els valors de y augmenten o disminueixen la funció sempre tendeix a infinit o menys infinit. En aquesta podem observar que el límit per la dreta s'acosta al més infinit, i per l'esquerra al menys infinit. Però com podem saber totes aquestes coses a partir d'una funció?
A continucació us indicarem els pasos que heu de seguir per calcular asímptotes:
1. Calcular el domini ( sabrem el punt de tall amb les x)
2. Fem el límit per als valors de x que no pertanyen al domini. Si el límit és igual a infinit EUREKA! Hem trobat una asímptota vertical.
3. Per saber a què tendeix la funció es fan els límits laterals. El resultat només pot ser més o menys infinit.
4. Les rectes són paral·leles al eix OY. S'escriuen: x= al valor de la asímptota vertical.
5. Poden tenir asímptotes les indeterminacions K/0, funcions logarítmiques o funcions tangents.
Un cop sabem els passos fem un exemple per a que quedi clar del tot:
Posem per cas que ens diuen de trobar les asímptotes de la següent funció:
-En primer lloc hem de buscar el domini de la funció. Per fer això igualarem a 0 el denominador i els nombres que en resultin seran els que NO estan al domini.
En aquest cas el domini són tots els nombres reals excepte 0. Aquest 0 és el numero que ens interessa.
- En segon lloc fem el límit per aquells valors que no pertanyen al domini.
Tal com esperàvem el resultat és una indeterminació de tipus K/0 (1/0) i per tant dona infinit. Hi ha una asímptota en x=0
- Per últim ja tan sols ens queda esbrinar si per l'esquerra és més o menys infinit i el mateix per la dreta.
Per esbrinar-ho agafem un número més petit que zero com el -1 que va per l'esquerra de l'asímptota i substituïm. No ens importa el resultat, només el signe, i en aquest cas l'esquerra de la funció és igual a més infinit.
Per la dreta hem de fer el mateix però amb un nombre major que zero com el +1. Substituïm i el resultat continua sent més infinit. Ha donat la casualitat que han coincidit, però podrien no fer-ho.
Ara ja tenim una idea aproximada de com anirà la asímptota i de com serà la funció. I la podem "representar":
Però ara que sabem totes aquestes coses...què ens impedeix fabricar nosaltres mateixos les nostres pròpies funcions amb asímptotes verticals? Res.
Així doncs mirem com podrirem crear els nostres propis exercicis i materials per treballar i estudiar. Per fer una funció amb asímptota vertical només hem de tenir clares un parell de coses:
1. El resultat de la substitució ha de ser k/0
2. Hem de buscar una funció que tingui un domini igual a tots els nombres reals excepte un o uns quants nombres.
Així doncs busquem un polinomi amb un domini com l'esmentat: x^2-1. Que té domini -1.
Seguidament comprovem que al substituir donarà 0 i busquem un altre polinomi que faci de numerador.
Aquest al ser substituit per -1 ha de donar un nombre que NO sigui zero. Seguidament fem el límit substituint les x per el -1.
Ara ja només ens queda saber a què tendeix el límit per la dreta i per l'esquerra. En aquest cas el límit i l'asímptota farien una gràfica com la següent:
En aquest cas també hi ha una asímptota horitzontal, però això ho deixarem pel següent capítol.
Espero que us hagi servit d'ajuda.
Fins aviat.
No hay comentarios:
Publicar un comentario