IV: Esquemes

Bon dia,

Avui, ja acabant el tema de les asímptotes us presentem tres esquemes que esperem que us serveixin com a guia a l'hora d'estudiar aquestes rectes sorprenents.

AÍMPTOTES OBLIQÜES:

AÍMPTOTES HORITZONTALS

ASÍMPTOTES VERTICALS




I fins aquí arriba el nostre treball sobre les asímptotes, esperem que d'aquí poc poguem tenir llest algun video explicatiu.

Espero que els hagi servit d'ajuda.

Fins aviat.

III: Asímptotes obliqües

Bon dia,

Avui us presentarem les asímptotes obliqües. Una funció racional té asímptota obliqua quan el grau del numerador és una unitat més gran que el grau del denominador.

Si en una funció hi ha una asímptota obliqua mai hi haurà una asímptota horitzontal, ja que aquestes son incompatibles. La equació de la asímptota obliqua és:

y = mx+n

Aquesta és una de les equacions que utilitzàvem per definir les funcions, i s’anomena equació implícita. Com que les asímptotes obliqües també tenen un pendent determinat utilitzarem la mateixa equació.

Però com la podem calcular? Per calcular-la haurem de seguir dos passos:

Primer pas: Haurem de calcular la m, és a dir, el pendent de la recta i la n, l'ordenada.

Quan la m d’aquesta funció sigui diferent a 0 la podrem calcular amb la primera fórmula i seguidament la n la calcularem amb la segona fórmula:

Segon pas: substituïm els valors de m i n en l’equació i ja tindrem l’asímptota obliqua resolta.

Per acabar d’aclarir el passos que s’han de seguir farem un exemple de càlcul d’asímptota obliqua.

En la següent funció podem observar que el grau del numerador és una unitat més gran que el grau del denominador, per tant, podem deduir que ens sortirà una asímptota obliqua.

El primer pas és calcular la el pendent, es a dir, la m. Per calcular la m aplicarem la fórmula d'aquesta, per tant:

El segon pas és calcular la n amb la seva fórmula, per tant:

Per últim, aplicarem els resultats de la m i la n a la fórmula i per tant queda:

Aquesta és la fórmula de la recta de la asímptota obliqua.

Com ja vam veure a l'altra entrada un exemple de asímptota obliqua a la vida quotidiana el trobem en les hipèrboles. En la següent foto les podem intuir:

En la següent gràfica, ara sí, les podem veure representades:

I fins aquí l'asímptota obliqua. Esperem que el hagi servit d'ajuda.

Fins aviat.

II: Asímptotes horitzontals

Bon dia,

Avui us presentem les asímptotes horitzontals. Com vam dir en la primera entrada sobre asímptotes, aquestes són rectes d'equació y=k. I ens indiquen a que tendeix la funció quan x és molt gran o molt petita.

O dit d'una altra manera: les asímptotes horitzontals són rectes horitzontals a les quals la funció es va apropant indefinidament. És a dir que quan la x s'aproxima a més o menys infinit la funció s'aproxima a la asímptota.

Podem trobar asímptotes horitzontals aplicacions de termes empresarials, en càlcul de freqüències, i fins i tot en l'estela dels avions.

En aquesta imatge hi ha dues asímptotes, una de vertical, i la que ara ens interessa, una d'horitzontal. Passem a veure ara un applet on descobrir si la definició s'adiu realment amb la seva representació gràfica.

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"

MAYSCRIPT>

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

En aquesta aplicació l'únic que hem de fer es posar la recta verda sobre la blava, i així tindrem la asímptota. Llavors per comprovar que la funció s'aproxima a més o menys infinit tan sols hem de canviar el valor de x.

Un cop ens ha quedat clar què és una asímptota horitzontal ja tan sols ens queda aprendre a calcular-la. I per a fer-ho només s'han de seguir uns passos molt senzills:

1. Calculem el límit de la funció quan x tendeix a infinit. Si existeix el límit (valor finit) Hi ha una asímptota horitzontal.

2. Les funcions racionals tenen asímptotes horitzontals en els casos següents:

a) Numerador i denominador amb el mateix grau: a/b

b) Numerador menor que el del denominador: 0

3. les funcions exponencials sempre tenen una asímptota horitzontal en y=0

4. Les asímptotes horitzontals són paral·leles a l'eix OX i s'escriuen y= al valor de la asímptota horitzontal.

I un cop seguits aquests passos ja hauriem resolt el càlcul de qualsevol funció horitzontal. Ara posarem un exemple per que veieu aquestes pautes molt més clares.

Imaginem que volem calcular la asímptota de la funció:

En primer lloc mirem els graus del numerador i del denominador. Com que coincideixen el resultat serà a/b o en aquest cas 1/1= 1.

Per saber a què tendeixen per la dreta posarem nombres "grans" i per saber a què tendeixen per l'esquerra posarem nombres "petits" i substituirem en el límit,

a) Per la dreta: Substituïm per 10 (per exemple) I ens dona el símbol +

b) Per l'esquerra: Substituïm per -10 ( per exemple) I ens dona el símbol -

Ara sí, ens podem fer una idea de com serà aquesta asímptota i la funció que l'acompanya. En primer lloc sabem que la asímptota és una recta paral·lela a l'eix OX i que es troba en y=1. I també sabem que en valors majors a 1 tendeix a infinit i en valors menors a 1 tendeixen a menys infinit.

Per tant només ens queda fer-ne la representació gràfica.

I fins aquí les asímptotes horitzontals. Espero que els hagi servit d'ajuda.

Fins aviat.

I: Asímptotes verticals

Bon dia,

Avui us parlaré de les asímptotes verticals. Com ja vam veure en el primer apartat les asímptotes verticals són aquelles que ens diuen que x=k, sent k els punts que no pertanyen al domini de la funció.

De manera que en substituir les ixes per el valor de k el resultat és un nombre partit per 0 que sempre tindrà com a resultat infinit. Tots els límits que donen infinit tindran com a mínim una asímptota vertical.

Les asímptotes podem semblar rectes abstractes, insignificant o fins i tot intangibles, però són freqüents en vies de tren, en parcs d'atraccions, en cables, edificacions etc. En la següent fotografia podem veure dues rectes verticals a les quals dues funcions s'aproximen en augmentar els valors de y.

Anem a veure ara una aplicació concreta, on poder observar l'asímptota amb més precisió:

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"

MAYSCRIPT>

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Tal com podem comprovar en aquesta aplicació quan els valors de y augmenten o disminueixen la funció sempre tendeix a infinit o menys infinit. En aquesta podem observar que el límit per la dreta s'acosta al més infinit, i per l'esquerra al menys infinit. Però com podem saber totes aquestes coses a partir d'una funció?

A continucació us indicarem els pasos que heu de seguir per calcular asímptotes:

1. Calcular el domini ( sabrem el punt de tall amb les x)

2. Fem el límit per als valors de x que no pertanyen al domini. Si el límit és igual a infinit EUREKA! Hem trobat una asímptota vertical.

3. Per saber a què tendeix la funció es fan els límits laterals. El resultat només pot ser més o menys infinit.

4. Les rectes són paral·leles al eix OY. S'escriuen: x= al valor de la asímptota vertical.

5. Poden tenir asímptotes les indeterminacions K/0, funcions logarítmiques o funcions tangents.

Un cop sabem els passos fem un exemple per a que quedi clar del tot:

Posem per cas que ens diuen de trobar les asímptotes de la següent funció:

-En primer lloc hem de buscar el domini de la funció. Per fer això igualarem a 0 el denominador i els nombres que en resultin seran els que NO estan al domini.

En aquest cas el domini són tots els nombres reals excepte 0. Aquest 0 és el numero que ens interessa.

- En segon lloc fem el límit per aquells valors que no pertanyen al domini.

Tal com esperàvem el resultat és una indeterminació de tipus K/0 (1/0) i per tant dona infinit. Hi ha una asímptota en x=0

- Per últim ja tan sols ens queda esbrinar si per l'esquerra és més o menys infinit i el mateix per la dreta.

Per esbrinar-ho agafem un número més petit que zero com el -1 que va per l'esquerra de l'asímptota i substituïm. No ens importa el resultat, només el signe, i en aquest cas l'esquerra de la funció és igual a més infinit.

Per la dreta hem de fer el mateix però amb un nombre major que zero com el +1. Substituïm i el resultat continua sent més infinit. Ha donat la casualitat que han coincidit, però podrien no fer-ho.

Ara ja tenim una idea aproximada de com anirà la asímptota i de com serà la funció. I la podem "representar":

Però ara que sabem totes aquestes coses...què ens impedeix fabricar nosaltres mateixos les nostres pròpies funcions amb asímptotes verticals? Res.

Així doncs mirem com podrirem crear els nostres propis exercicis i materials per treballar i estudiar. Per fer una funció amb asímptota vertical només hem de tenir clares un parell de coses:

1. El resultat de la substitució ha de ser k/0

2. Hem de buscar una funció que tingui un domini igual a tots els nombres reals excepte un o uns quants nombres.

Així doncs busquem un polinomi amb un domini com l'esmentat: x^2-1. Que té domini -1.

Seguidament comprovem que al substituir donarà 0 i busquem un altre polinomi que faci de numerador.

Aquest al ser substituit per -1 ha de donar un nombre que NO sigui zero. Seguidament fem el límit substituint les x per el -1.

Ara ja només ens queda saber a què tendeix el límit per la dreta i per l'esquerra. En aquest cas el límit i l'asímptota farien una gràfica com la següent:

En aquest cas també hi ha una asímptota horitzontal, però això ho deixarem pel següent capítol.

Espero que us hagi servit d'ajuda.

Fins aviat.

Asímptotes: Què són?

Bon dia,

Avui us presentem les asímptotes. El nom pot semblar o sonar de manera estranya, però es que com gran part dels mots que utilitzem prové del grec. I vol dir exactament: allò que no cau.

Així doncs podríem començar a fer similituds entre el significat actual i matemàtic que ens diu que una asímptota és una recta a la qual s'acosta un punt variable sobre una branca de corba quan el punt s'allunya cap a l'infinit.

Com podem comprovar tant el significat primitiu com l'evolucionat venen a dir el mateix, una asímptota és una recta a la qual una funció s'acosta en apropar-se a l'infinit però mai arriba a tocar, de manera que "no cau" o no toca la recta.

Com podeu comprovar en la següent aplicació, en augmentar els valors de y, la funció s'acosta indefinidament a la recta i s'allunya cap a l'infinit. En aquest cas es tracta d'una asímptota vertical.

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"

MAYSCRIPT>

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Però no només hi ha asímptotes verticals, sinó que també en trobem de horitzontals i d'obliqües. Per a fer una petita introducció de les tres direm que les verticals són aquelles que quan x s'aproxima a "A" el límit s'aproxima a infinit. En les horitzontals en canvi quan la x tendeix a infinit el límit s'aproxima és igual a L.

I per últim ja tan sols queda mencionar les asímptotes obliqües. Aquestes són una mica més complicades que les anteriors, per això en aquest apartat tan sols direm que les obliqües són asímptotes que ja hem vist en altres entrades, més concretament quan parlàvem d'hipèrboles.

A més a més les asímptotes i límits de funció també són molt utilitzats en diverses àrees com la física, la química i molt clarament en l'àmbit empresarial i econòmic. En aquest últim trobem un cas clar de funció exponencial amb asímptota vertical i horitzontal ( la vertical no s'hi veu representada, però en el dibuix podem intuir-la)

I fins aquí la nostra primera entrada sobre asímptotes. espero que us hagi servit d'ajuda.

Fins aviat.

It never ends.

Hi fanàtics de les mates,

Per fi hem acabat el treball per l'escola i ha anat prou bé, de fet crec que ha estat una eina excel·lent per aprendre en equip i per a col·laborar per aconseguir coneixements. Gracies a ell ens hem iniciat al món dels bloggs, hem descobert el prezzi, el cmaps i moltes altres coses útils no tan sols per a les matemàtiques. Així doncs us animem a continuar llegint-nos, per que això NO s'ha acabat.

De fet us volem animar a dur a terme un projecte com aquest. Si sou professors proposeu-ho, i si sou alumnes també. No és tan sols una manera d'aprendre, sinó que és converteix en una motivació. Les hores assegut a classe escoltant algú xerrar sobre coses que no interessen es converteixen en hores de recerca de descobriment, de sorpreses, quest és el camí a seguir en l'ensenyament: aprendre pel plaer d'aprendre.

I com a alumne crec que és en aquests treballs en que es deixa als joves ser creatius que aprenem a per plaer, per que al cap i a la fi els humans som éssers inquiets i ens agrada ser partícips del que vivim. No volem ser mers oients de la realitat.

Ara que ja hem conclòs aquest apartat tan sols hem queda dir-vos que hi haurà una altre entrada amb la bibliografia i després començarem amb les funcions.

Fins aviat.

PD: Per a qualsevol pregunta relacionada no dubteu en posar-vos en contacte amb nosaltres.

Videos sobre l'hipèrbola

Avui us presentem un video sobre la hipèrbola i tots els seus secrets, espero que us serveis d'ajuda per acabar d'entendre aquesta corba. Per a més informació tenim una altre entrada dedicada exclusivament a la hipèrbola.




Espero que els hagi estat útil,
Fins aviat.

Avui us presentem tres esquemes. Un dedicat a l'el·lipse, un a la hipèrbola i un a la paràbola. En aquests trobarem la informació resumida. Esperem que us serveixi.

El·lipse

Hipèrbola

Paràbola

Esperem que us hagi estat útil. Fins aviat!

..........................

PD: Avui ens hem de felicitar perquè tenim el nostre primer seguidor... GRACIES MARCO! Us animem a que pujeu al carro vosaltres també.

Videos sobre la paràbola.

Un cop ja em vist què és una paràbola us penjo uns videos que esperem que us ajudin en la vostra tasca per entendre aquestes corbes:



I per acabar un video on explica com resoldre exercicis en que demanen equacions de la paràbola.



Espero que els hagi estat útil.

Fins aviat

Seccions còniques IV: L'hipèrbola

Bon dia,

Us presento l'últim capítol sobre les seccions còniques, després d'aquest ja tan sols quedarà penjar els videos explicatius de la paràbola i la cònica que veure'm avui: la hipèrbola.

Podriem començar per visualitzar de quina intersecció d'un con i un pla sorgeix i d'aquesta manera familiaritzar-nos amb la seva forma:



La hipèrbola és una corba menys freqüent en el nostre dia a dia, però malgrat tot si posem els ulla a l'aguait en trobarem alguna. Un exemple seria l'estela que deixa un avió supersònic que es desplaça paral·lel al terra, però com que no tothom pot gaudir de tal exemplar us porto una altra hipèrbola en un lloc insospitat i habitual.



Com podem comprobar són fàcils de trobar en els cons de llum d'una làmpada.


Però comencem ja a analitzat més profundament aquesta corba. En primer lloc hauriem de dir que és una corba oberta, intersecció d'un con de revolució amb un pla que forma amb 'eix d'aquell un angle més petit que amb la generatriu.

De manera que seran una hipèrbole els llocs geomètrics dels punts del pla tals que la diferència de llurs distàncies a dos punts fixos, anomenats focus, és una constant, simbolitzada habitualment per 2^a

En aquesta aplicació veiem com es compleix la definició:

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"
MAYSCRIPT>























Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.


Passem ara a veure quins són els elements més importants de la hipèrbola, que com veurem s'assemblen en alguns casos a les de la paràbola o l'el·lipse.



Els elements són:

1. Els focus: Són els punts fixos F i F'
2. Eix focal: és la recta que passa pels focus.
3. Eix secundari: és la mediatriu del segment FF'
4. Distància focal: és la distància del segment FF' que sempre serà 2c
5. Asímptotes: Una asímptota és una recta a la qual s'aproxima un punt sobre una corba quan el punt s'allunya cap a l'infinit.Tenen l'equació:



Ara que ja sabem quines són les parts principals d'una hipèrbola hem de parlar de la seva excentricitat. En aquest cas la excentricitat indica l'obertura major o menor de les branques de la hipèrbola.

Com veuràs en aquesta aplicació si variem el valor de a, variem l'obertura de les branques, que serà major com més a prop del punt (0,0)estigui i menor com més se n'allunyi.

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"
MAYSCRIPT>
































Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.


I per acabar ja tan sols ens queda dir les equacions de la hipèrbola. En primer lloc l'equació de les hipèrboles que passen pel unt OY:



Finalment tenim l'equació que ens serveix per calcular hipèrboles amb l'eix paral·lel a OX i centre diferent a'l'origen



I si això ho desenvolupem i en traiem denominadors queda, en general una equació de la forma:




I amb això acabem la hipèrbole.

Fins aviat.

Videos sobre l'el·lipse I

Ara que ja hem acabat amb l'el·lipse i la paràbola què millor que uns videos per acabar d'entendre què és què?

En primer lloc us presento un video sobre quatre coses bàsiques de l'el·lipse.




Després d'això cal explicar-vos també l'excentricitat. En aquest video explico què és i es mostra com resoldre un exercici.




I per acabar un video en que s'explica com resoldre exercicis on es demana trobar l'equació d'una el·lipse.



Espero que els sigui útil.
Si troben qualsevol esmena facin-m'ho saber.
Fins aviat.

Seccions còniques III: La paràbola

I ara que ja hem començat a escalfar motors us presentem la paràbola, una secció cònica menys habitual en les nostres vides quotidianes. Però que apareix en logotips molt coneguts, com és el cas de la M de McDonal's:



Tot i així hi ha altres maneres d'aconseguir una paràbola. La que he escollit és molt fàcil d'aconseguir i tan sols cal una llanterna i una habitació fosca:



A més hem de pensar que les paràboles tenen un gran pes en les nostres vides, encara que no en siguem conscients, ja que per un seguit de característiques que les afavoreixen tenen moltes aplicacions. De manera que les podem trobar en antenes per satèl·lit, radiotelescopis, en fars i làmpades que tenen miralls amb superfícies parabòliques, cuines solars...



Un cop ja tenim clara la seva forma i aplicacions tan sols ens queda esbrinar què és ben bé una paràbola. Quins tresors ens oculta aquesta corba estudiada des de l'antiguitat?




Doncs bé, l'enciclopèdia catalana defineix de la següent manera, la secció cònica ja estudiada pel mateix Arquímedes:

"Corba oberta, intersecció d'una superfície cònica amb un pla paral·lel a una de les generatrius.
Constitueix el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d'un punt (el focus de la paràbola) i d'una recta que no conté el punt (la directriu de la paràbola)."



En la següent aplicació podrem veure com s'aplica la seva característica més important; l'equidistància entre els punts de la paràbola i el focus, i els punts de la paràbola i una recta que no consta d'aquest punt.

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"
MAYSCRIPT>




















Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.


Com podeu veure la distància del punt al focus i a la recta directriu sempre serà igual.

D'una paràbola cal destacar-ne els punts següents:

1. El focus: és el punt fix F
2. La directriu: és la recta fixa d
3. Vèrtex: és el punt d'intersecció de la paràbola amb el seu eix.
4. Eix: és la recta perpendicular a la directriu que passa pel focus.

Aquí podem observar tots aquests elements:




Com la resta de les seccions còniques la paràbola també està definida per una serie d'equacions. En primer lloc parlarem de l'equació reduïda, que podrem aplicar quan l'eix de la paràbola coincideixi amb el d'abscisses i el vèrtex amb el d'origen de coordenades.



Aquesta equació és:



En canvi si la coincidència és dona al contrari, és a dir tenim la paràbola vertical aplicarem l'equació:


Però no ens podem limitar a calcular solament aquest tipus de paràboles, doncs en trobarem amb el vèrtex diferent a l'origen i amb l'eix paral·lel a OX. Per aquests casos utilitzarem l'equació:



Fins aquí arriben les equacions de la paràbola. Espero que us hagi servit per aprendre coses noves.

Fins aviat.

Seccions cóniques II: L'el·lipse

En la segona entrada sobre les cóniques us volem presentar ara l'el·lipse. Segurament us deu sonar aquesta paraula, doncs segurament tots tenim en ment com és una el·lipse, però quins secrets amaga aquesta corba tancada? Què és exactament? Ara us ho expliquem.

Segur que si et fixes en el que t'envoltes aconsegueixes trobar-ne una. Nosaltres l'hem trobat en un subwoofer.


De manera que ara ja tan sols ens queda investigar la forma trobada. Segons l'enciclopèdia catalana una el·lipse és:

"Corba tancada que resulta de la intersecció d'una superfície cònica amb un pla que no és paral·lel a cap generatriu ni a l'eix d'aquella; és doncs, una cònica"



Aquesta és una descripcció molt gràfica, però de manera més "matemàtica" podriem dir que una el·lipse és una corba tancada que consta de dos punt F i F' que anomenarem focus i que aquesta es defineix tal com al lloc geomètric del pla tal que la suma de les seves distàncies als focus és constant i igual a 2a (a>0)

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"
MAYSCRIPT>
























Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Aquí podem comprovar la definició anterior.

Una el·lipse té diversos elements com poden ser:

1. Focus: són els punts fixos F i F'
2. Eix focal: és la recta que passa pels focus.
3. Eix secundari: és la mediatriu del segment FF'
4. Centre: és el punt d'intersecció dels eixos.
5. Radis vectors: són els vectors que van des d'un punt de la el·lipse als focus PF i PF'
6. Distància focal: és el segment FF' de longitud 2c, on c és el valor de la semi-distància focal.
7. Vèrtex: són els punts de la intersecció de la el·lipse amb els eixos A, A', B y B'
8. Eix major: és el segment AA' de longitud 2a
9. Eix menor: és el segment BB' de longitud 2b



Cal destacar també què és la excentricitat. Doncs, bé l'excentricitat d'una el·lipse és el quocient la seva semi-distància focal i el seu semieix menor.Es denota amb la lletra e i el seu valor està comprés entre 0 i 1.

En aquesta aplicació podem observar que l'excentricitat més serà superior a 1 o inferior a 0.

archive="descinst.jar,http://recursostic.educacion.es/descartes/web/plugin/descinst.jar"
MAYSCRIPT>











































Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.



A més per definir una el·lipse podem utilitzar les equacions. En primer lloc mostrarem la equació reduïda de la el·lipse PF+PF'= 2a

Aquesta equació dona lloc a:


I realitzant algunes operacions arribam a la formula :



Que ens serveix si l'eix principal es troba en posició horitzontal.


Si l'eix principal de la el·lipse es troba en l'eix d'ordenades obtindrem l'equació reduïda vertical:


D'altra banda també tenim una altre equació que ens diu que si el centre de l'el·lipse C( x0, y0) es i l'eix principal és paral·lel a OX els focus tenen de coordenades: F(x0+c, y0) y F'(x0−c, y0) I l'equació és:



I fins aquí l'explicació de l'el·lipse.

Fins aviat.